合成関数の微分

関数 $f, g$ が微分可能であるとする。このとき、関数 $f(g(x))$ の点 $x=a$ における微分係数は $f'(g(a))g'(a)$ である。このことは合成関数の微分の公式として知られ、高校数学の教科書にも載っているが、そのよくある証明には厳密でない部分がある。この記事ではよくある証明を少しだけ修正することで厳密な証明を与える。

証明？

関数 $f(g(x))$ の点 $x=a$ における微分係数を求めよう。$u=g(a), y=f(u)=f(g(a))$ とおく。$a$ が $\Delta x$ だけ増加したときの $u$ の増加分を $\Delta u$、$u$ が $\Delta u$ だけ増加したときの $y$ の増加分を $\Delta y$ とする。すなわち、 \begin{align} \Delta u &= g(a+\Delta x) - g(a)\\ \Delta y &= f(u+\Delta u) - f(u)= f(g(a+\Delta x)) - f(g(a)) \end{align} と定義する。微分係数の定義により、求める極限は \begin{align} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(a+\Delta x)) - f(g(a))}{\Delta x} \end{align} である。ここで、$\lim$ の中の式は \begin{align} \frac{f(g(a+\Delta x)) - f(g(a))}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \cdots \cdots (*) \end{align} と変形できる。$g$ は連続なので $\Delta x \rightarrow 0$ のとき $\Delta u \rightarrow 0$ である。さらに $f, g$ は微分可能なので、極限値 \begin{align} \lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}, & & \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} \end{align} が存在する。それぞれ $f'(u), g'(a)$ とおけば、求める極限値は \begin{align} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(g(a+\Delta x)) - f(g(a))}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} =f'(u)g'(a)=f'(g(a))g'(a) \end{align} である。

問題点

上の証明には厳密でない点がある。問題は $(*)$ の変形にある。この変形は両辺が $\Delta x=0$ の十分近くで $\Delta x$ の関数として等しいことを根拠にした変形である。しかしながら、これは成り立たないケースがある。$\Delta u$（$\Delta x$ によってその値が定まる）が $0$ となるような $\Delta x$ を考えよう。 このとき、$(*)$ の変形前の式の値は $0$ であるのに対し、変形後の式の値は分母に $\Delta u$ があるため未定義である。したがって $\Delta x=0$ のどれだけ近くを考えても $\Delta u=0$ となる点が存在するような関数 $g$ が与えられた場合には、$\Delta x=0$ のどれだけ近くを考えても $(*)$の両辺は $\Delta x$ の関数として異なることになり、$(*)$ の変形は非合法である。といってもほとんどの場合で問題は起きない気がするが、実際に問題が起きる例としては、関数 $g$ が定数関数である場合が挙げられる。っていうか関数 $g$ が定数関数だったら $f(g(x))$ も定数なわけで、普通は合成関数の微分しようとか思わないじゃん。

修正

イメージとしては $\Delta x$ を $0$ に近づけていくとき、 $(*)$ の最左辺と最右辺は、見えているときはいつも等しいが、最右辺だけが時折チラついているような状況である。このチラつきをなくしてやればよい。チラつきの原因は $\Delta y / \Delta u$ の部分である。この部分を次の関数で置き換える。 \begin{align} h(\Delta u) = \begin{cases} \Delta y / \Delta u & \Delta u \neq 0\\ f'(u) & \Delta u = 0 \end{cases} \end{align} そうすれば任意の $\Delta x$ について \begin{align} \frac{f(g(a+\Delta x)) - f(g(a))}{\Delta x} = h(\Delta u) \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \end{align} である。つまり両者は $\Delta x$ の関数として等しい。さらに $\Delta x \rightarrow 0$ とすると、$\Delta u / \Delta x \rightarrow g'(a)$ かつたとえ $\Delta u$ の値が $0$ を取りながら $0$ に収束したとしても $h(\Delta u) \rightarrow f'(u)$ である。したがって求める極限値は $f'(u)g'(a)=f'(g(a))g'(a)$ である。